授業内容・計画(概要)の情報


授業科目名 測度と積分
授業科目の区分 主専攻科目    主専攻科目(学科開講科目)
授業の目標
 講義の目標は、ルベーグ積分論の基礎理論を学ぶことにより、現代解析学の門をくぐり、その先に広がる数学の世界の裾野に一歩足を踏み入れることです。
 ルベーグ積分とは、集合関数から定まる測度をもとにする積分です。測度の中でもっとも重要なものはルベーグ測度と呼ばれ、これは長さ・面積・体積の概念を拡張したものになっています。微分積分学で学んだ定積分をリーマン積分と呼びます。リーマン積分は面積・体積の直感的なイメージとして定着していますが、その定義の方法により「極限操作」にかなりの脆弱性を持つことが知られています。例えば、ディリクレ関数を考えてみましょう。ルベーグはリーマン積分の定義とは文字通り「90度違う視点」から積分の定義を見直しました。この新しい積分は、積分と極限の順序交換に代表される極限操作を容易なものとし、解析学の種々の理論構築に大きな貢献をしています。
 講義の最初の部分では、可測集合、測度、可測関数の定義と諸性質を学び、これらの諸概念を基礎にして、可測集合上の可測関数に対するルベーグ積分を定義します。
 講義の後半では、単調収束定理から始まり、ルベーグ収束定理に至る、一連の収束定理について学びます。

授業で育成する力・スキル

全学共通:自ら考える力
学  部:専門性に対応できる基礎力
学  科:論理的・抽象的思考力、図形的・直感的発想力

先修条件または
他の授業科目との関連
(1)先修条件なし。
(2)複素関数論、関数解析、フーリエ解析、確率論などと関連します。
(3)集合論、距離空間論、位相空間論の内容を多く使います。
(4)微分積分学1・2、解析学序論で学習した「極限概念の基礎」を使います。

履修のポイント
留意事項
(1)今までに学んだ数学の基本をしっかり理解しておくこと。
(2)リーマン積分との違いを認識するためにも、微分積分学1・2で学んだ「定積分の定義」に関係する内容をしっかり復習してください。
(3)微分積分学1・2、解析学序論で学んだ「極限の概念」、「上限・下限」などを頻繁に使います。これらの基礎事項を自由自在に使いこなせることが理想です。
(4)集合論、距離空間論、位相空間論の内容も測度論の基礎となります。

学部・学科必修/選択の別
理学部 数学科 選択

2019/04/01 20:37:36 作成